Eigendrum: Công cụ mô phỏng trống bằng toán học trên trình duyệt

Eigendrum là một ứng dụng web độc đáo dành cho những ai đam mê toán học, vật lý và âm học. Trang web này cho phép bạn vẽ một hình dạng trống bất kỳ trên trình duyệt, sau đó nghe âm thanh mà chiếc trống đó sẽ tạo ra — tất cả được mô phỏng dựa trên các phương trình toán học chặt chẽ.

Cách thức hoạt động

Một mặt trống được kẹp chặt ở viền chỉ có thể rung động theo những hình dạng và tần số cụ thể. Những hình dạng và tần số này chính là nghiệm của phương trình vi phân −∇²u = λu với điều kiện biên u = 0 tại mép. Mỗi nghiệm u là một mode (chế độ dao động), và mỗi λ cho ra tần số tương ứng tỉ lệ với căn bậc hai của nó.

Vì hầu như không có hình dạng nào có công thức giải tích, Eigendrum sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Trang web phủ lên hình dạng của bạn một lưới tam giác, xây dựng ma trận độ cứng và khối lượng, sau đó tìm các eigenvalue nhỏ nhất của hệ phương trình Kφ = λMφ.

Điểm đáng tin cậy

Một số hình dạng có phổ tần số tính được chính xác, và thuật toán của Eigendrum được kiểm tra đối chiếu với các trường hợp này sau mỗi lần thay đổi. Cụ thể:

• Với hình tròn, tần số là nghiệm của hàm Bessel.
• Với hình chữ nhật, tần số tuân theo công thức π²(m²/a² + n²/b²).

Kết quả mô phỏng khớp với lý thuyết với sai số dưới một phần mười phần trăm. Nhờ phương pháp FEM tuân thủ (conforming), kết quả được đảm bảo là hơi cao hơn giá trị thực, không bao giờ thấp hơn.

Vị trí gõ trống có ý nghĩa quan trọng

Khi bạn “gõ” vào một điểm, mỗi mode dao động sẽ được kích thích theo tỉ lệ với mức độ chuyển động tại điểm đó. Nếu bạn đánh vào một đường nút (nơi mode đứng yên), mode đó sẽ không phát ra âm thanh. Điều này không được lập trình sẵn — nó tự nhiên xuất hiện khi chiếu vị trí gõ lên các mode.

Một cú đánh không bao giờ chỉ tạo ra một mode, mà là sự trộn lẫn của tất cả các mode, tùy thuộc vào vị trí đánh. Các mode được đánh dấu hình vuông là những mode mà cú gõ của bạn không thể chạm tới. Nhấn vào một hàng để nghe mode đó riêng lẻ — điều mà không chiếc dùi nào làm được, và là cách duy nhất để nghe một tần số thực sự của hình dạng.

Trống từ phương trình

Ngoài việc vẽ, bạn có thể viết phương trình để tạo hình dạng theo cách tham số. Ví dụ, 1 + 0.3cos(5t) tạo ra một bông hoa năm cánh; hay cặp tham số x(t), y(t) cho phép vẽ các đường cong kín mà hệ tọa độ cực không làm được, như nephroid hoặc hình quả trứng.

Một hình dạng viết bằng công thức có thể chia sẻ dưới dạng văn bản — đường link chứa chính công thức đó, giúp bạn dễ dàng đọc và nhập lại, thậm chí chỉnh sửa trực tiếp trên thanh địa chỉ. Các hình quá mỏng (khó tạo lưới) sẽ bị từ chối thay vì trả kết quả sai.

Nghe hình dạng của trống?

Vào năm 1966, nhà toán học Mark Kac đặt câu hỏi nổi tiếng: “Liệu có thể nghe được hình dạng của một chiếc trống?” Năm 1992, Carolyn Gordon, David Webb và Scott Wolpert trả lời là không bằng cách xây dựng hai hình dạng khác nhau có phổ âm thanh hoàn toàn giống nhau.

Cả hai hình này đều có trong Eigendrum với tên gọi Kac drum I và II. Chúng được tạo từ bảy tam giác giống nhau nhưng sắp xếp khác biệt, có cùng diện tích, chu vi và mọi tần số. Bạn có thể chuyển đổi giữa hai hình và lắng nghe — bề ngoài hiển nhiên khác nhau mà âm thanh thì không.

Mô hình hóa và lựa chọn thiết kế

Tỉ lệ tần số, hình dạng mode và cao độ cơ bản là các yếu tố vật lý cố định, phụ thuộc hoàn toàn vào đường viền. Phần không nằm trong đường viền là tốc độ sóng (phụ thuộc độ căng và mật độ) — thanh trượt cao độ thiết lập điều này bằng cách đặt tên nốt nhạc cho một hình tròn có diện tích tương ứng.

Thanh trượt mô phỏng độ rộng của dùi trống, thời gian tiếp xúc cố định vài mili giây vì không có dùi thực nào là tức thời. Hệ số giảm chấn là Rayleigh damping, nghĩa là tổn thất tăng theo bình phương tần số — các họa âm cao tắt trước, giải thích vì sao âm trống trở nên tối hơn khi ngân dài.

Không cần cài đặt, chạy ngay trên trình duyệt

Eigendrum hoạt động hoàn toàn trên máy của bạn — không có bước build, không có máy chủ ứng dụng. Toàn bộ quá trình tạo lưới, giải phương trình và âm thanh đều chạy cục bộ. Hình dạng bạn vẽ được lưu trong URL sau ký tự #, mà trình duyệt không bao giờ gửi lên máy chủ.

Ứng dụng miễn phí, không cần tài khoản. Nếu bạn muốn ủng hộ dự án hoặc không thích quảng cáo, có tùy chọn quyên góp qua Ko-fi. Mã nguồn được công khai trên GitHub.