Không gian Hilbert: Vũ đài toán học đằng sau mọi khả năng của thế giới lượng tử

Một vật thể lượng tử không có tương lai cố định trước khi bị quan sát — nó chỉ mang trong mình một tập hợp các khả năng. Để mô tả những khả năng ấy, các nhà vật lý phải rời bỏ thế giới quen thuộc và bước vào không gian Hilbert, một miền trừu tượng mà ở đó mọi điều đều có thể xảy ra.

David Hilbert, nhà toán học đặt nền móng cho cấu trúc không gian mang tên ông

Khi toán học rời bỏ thế giới thực tại

Cơ học lượng tử được xây dựng trên một nguyên tắc gần như phản trực giác: không được hình dung các vật thể thông thường đang chuyển động trong không gian thông thường. Thay vào đó, lý thuyết dự đoán chi tiết mọi cách mà một vật thể có thể xuất hiện trong tương lai. Để làm được điều đó, ta phải theo dõi một đối tượng toán học hoàn toàn khác — một mũi tên gọi là vectơ, định hướng trong một miền xa lạ và rộng lớn hơn nhiều.

Theo nhà vật lý Lucien Hardy đến từ Viện Vật lý Lý thuyết Perimeter (Canada), những mũi tên này không chỉ về một vị trí cụ thể. Chúng "thực sự chỉ về một hướng trong không gian khả năng". Không gian khả năng đó chính là không gian Hilbert — sân khấu chính của vật lý lượng tử.

Từ hai lý thuyết đối lập đến một nền tảng chung

Những người tiên phong của lượng tử ban đầu chưa nhận ra rằng nền toán học kỳ lạ mô tả hành vi của nguyên tử đã bỏ lại thế giới thực phía sau. Năm 1925, Werner Heisenberg trình làng cơ học ma trận với những bảng số khó hiểu dùng để tính xác suất electron nhảy lên quỹ đạo cao hơn hoặc thấp hơn. Chỉ một năm sau, Erwin Schrödinger giới thiệu cơ học sóng, dùng sóng để theo dõi xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí.

Hai bức tranh trông hoàn toàn khác biệt nhưng lại cho ra những dự đoán trùng khớp. Heisenberg và Schrödinger đã tạo ra hai hóa thân của cùng một lý thuyết — nhưng lý thuyết đó thực chất là gì?

Câu hỏi này ám ảnh David Hilbert, nhà toán học nổi tiếng dành phần lớn sự nghiệp để xây dựng lại vật lý trên nền tảng tiên đề vững chắc. Ông đã hướng học trò John von Neumann vào bài toán này giữa thập niên 1920. Năm 1927, ở tuổi 23, von Neumann giải quyết nó bằng một loạt ba bài báo, dựa trên những gợi ý từ Paul Dirac.

"Ý tưởng cụ thể là của von Neumann, nhưng nguồn cảm hứng — tại sao phải tiên đề hóa và để làm gì — là điều ông ấy học từ Hilbert", nhà sử học toán Leo Corry cho biết.

Các bài báo này đặt ra luật chơi cho cơ học lượng tử và chứng minh rằng những "tóa tháp" của Heisenberg cùng những "làn sóng" của Schrödinger chỉ là hai cách biểu diễn của cùng một thực thể — giống như 0,5 và ½ cùng chỉ một điểm trên trục số. Cả hai đều mô tả nhân vật chính của lượng tử: trạng thái lượng tử.

Trạng thái lượng tử dưới dạng một mũi tên

Mọi thứ đều có trạng thái. Một đồng xu có thể ngửa hoặc sấp. Quả lắc đồng hồ có thể ở vô số vị trí khi đung đưa. Phần lớn vật lý chỉ là việc nắm bắt trạng thái của vật thể và dự đoán cách nó thay đổi.

Nhưng quy tắc lượng tử của von Neumann làm phức tạp khái niệm trạng thái. Trước khi bị quan sát, một vật thể lượng tử không có tập thuộc tính cố định như vị trí cụ thể. Thay vào đó, nó mang một tổ hợp các thuộc tính khả dĩ — gọi là chồng chập lượng tử. Chồng chập có thể kết hợp mọi vị trí mà hạt có thể xuất hiện, với xác suất chính xác đến từng phần trăm: chẳng hạn 99% khả năng tìm thấy hạt bên trái và 1% bên phải. Bạn biết cách đặt cược, nhưng chỉ biết chắc kết quả khi kiểm tra.

Von Neumann biểu diễn trạng thái lượng tử bằng một mũi tên toán học trỏ xuyên qua không gian chứa mọi tương lai khả dĩ của vật thể. Hãy tưởng tượng một đèn giao thông lượng tử với ba trạng thái — đỏ, vàng, xanh. Mũi tên của nó tồn tại trong không gian Hilbert ba chiều, mỗi trục đại diện cho một màu tương lai. Cho đến khi bị quan sát, đèn không có màu cụ thể mà là hỗn hợp các màu khả dĩ; mũi tên càng nghiêng về trục đỏ thì khả năng đèn sáng đỏ càng cao.

Mũi tên trạng thái định hướng trong không gian Hilbert ba chiều của một đèn giao thông lượng tử

Hai cách mũi tên chuyển động

Mũi tên di chuyển trong không gian Hilbert theo một trong hai cách, tương ứng với các tiên đề còn lại của von Neumann.

• Trước khi quan sát: khi thế giới tác động lên vật thể, mũi tên quay mượt mà và có thể dự đoán được. Nó có thể tiến gần trục xanh hơn, khiến đèn có khả năng được đo là xanh cao hơn — hoặc gần trục đỏ hay vàng hơn.
• Khi quan sát: vectơ lập tức và ngẫu nhiên "bật" thẳng vào một trong các trục. Mũi tên càng gần trục nào thì khả năng bật vào trục đó càng lớn, nhưng kết quả cuối cùng vẫn không thể đoán trước. Nếu nó bật sang trục xanh, bạn sẽ thấy đèn xanh, và các lần đo sau chắc chắn 100% vẫn ra xanh vì mũi tên đã trùng khít với trục xanh. Chồng chập lượng tử biến mất.

Điều gì định nghĩa không gian Hilbert?

Vật thể càng có nhiều tương lai khả dĩ thì không gian Hilbert của nó càng lớn. Một hạt giống đồng xu với hai tương lai là qubit — đơn vị tính toán cơ bản của máy tính lượng tử — có không gian Hilbert hai chiều. Đèn giao thông ba màu có không gian ba chiều. Nhưng đó mới chỉ là khởi đầu: một hạt bay tự do có thể xuất hiện ở bất kỳ đâu trong vũ trụ, nên không gian Hilbert của nó phải trải rộng vô số chiều.

Theo các tiên đề của von Neumann, kích thước — dù hai chiều hay vô số chiều — là đặc điểm nền tảng duy nhất của không gian Hilbert. Các trục là do chúng ta tự đặt ra, không thuộc về bản chất không gian.

Hãy xét một electron. Nó chỉ có một trạng thái, một mũi tên, trong một không gian Hilbert bao trùm mọi phép đo khả dĩ: năng lượng, vị trí, động lượng... Nếu muốn biết electron có thể ở đâu, ta đánh dấu không gian bằng các trục vị trí. Nếu muốn biết nó đang đi về đâu, ta dùng trục động lượng. Dù chuẩn bị đo gì, không gian Hilbert nền tảng vẫn giữ nguyên.

Các trục khác nhau có thể được đặt lên cùng một không gian Hilbert tùy theo phép đo mong muốn

Chính sự tự do chia tách không gian Hilbert theo ý muốn đã cho phép Heisenberg và Schrödinger tạo ra hai phiên bản khác nhau của cùng một lý thuyết. Cách của Heisenberg gắn các trục cố định rồi cho chúng quay quanh vectơ; cách của Schrödinger làm ngược lại — giữ trục đứng yên và để vectơ quay. Đó là hai góc nhìn toán học hoàn toàn khác nhau về cùng những mũi tên trong cùng những không gian Hilbert.

Trong bài báo đầu tiên năm 1927, von Neumann đưa ra hai tiêu chí toán học để định nghĩa không gian như vậy. Thứ nhất, nó phải "đầy đủ" — không thiếu bất kỳ vùng hay điểm nào. Thứ hai, phải tính được độ "thẳng hàng" giữa trạng thái và trục, hình dung như ánh sáng chiếu vuông góc xuống mũi tên để nó đổ bóng lên trục: bóng càng dài, mũi tên càng gần trục đó. Không gian phải cho phép phép toán này, gọi là tích trong.

"Đây là một bước tiến lớn trong việc tạo ra cái mà chúng ta gọi là cơ học lượng tử không gian Hilbert. Đó là một ví dụ đẹp về cách toán học khái quát hóa và trừu tượng hóa diễn ra", nhà triết học vật lý Miklós Rédei (Trường Kinh tế London) nhận định.

Von Neumann gọi những không gian trừu tượng này là không gian Hilbert vì người thầy của ông là nhà toán học đầu tiên khám phá các không gian vô hạn chiều cụ thể vào đầu thế kỷ 20. Hilbert từng hỏi trong một buổi giảng năm 1929: "Tiến sĩ von Neumann, tôi thực sự tò mò muốn biết những không gian Hilbert này rốt cuộc là gì."

Không gian Hilbert có thật hay chỉ là trừu tượng?

Một thế kỷ sau khi cơ học lượng tử ra đời, lý thuyết này đặt các nhà vật lý vào thế khó xử. Chúng ta sống trong một thế giới mà vật thể thay đổi vị trí khi chuyển động qua ba chiều không gian vật lý. Nhưng lý thuyết nền tảng nhất của chúng ta lại diễn ra ở nơi khác — trong miền khả năng mênh mông của von Neumann.

Nhà triết học và vật lý Sean Carroll (Đại học Johns Hopkins) cho rằng nếu cơ học lượng tử là lý thuyết nền tảng của tự nhiên, thì không gian Hilbert phải được xem là sân khấu nền tảng của thực tại. Ông theo đuổi hướng nghiên cứu nhằm tái tạo thế giới quen thuộc từ không gian Hilbert đầy rối rắm ấy.

Những người khác thực dụng hơn. Jonathan Sorce (Đại học Princeton) coi không gian Hilbert là một cấu trúc toán học tiện lợi, cực kỳ hữu ích để mô tả nhiều hệ lượng tử — nhưng không phải tất cả. Ông thuộc nhóm nhà nghiên cứu đang tìm kiếm một cấu trúc toán học có thể mô tả kết cấu không-thời gian như một vật thể lượng tử, tiền đề để trả lời những câu hỏi lớn như chuyện gì xảy ra ở tâm hố đen.

Gần đây, nhóm này tập trung vào một không gian còn trừu tượng hơn, được tạo nên từ những thao tác có thể thực hiện lên không gian Hilbert — cắt nó theo nhiều cách khác nhau hay xoay lát cắt này vào lát cắt khác. Trong "siêu không gian" ấy, họ nhận thấy hố đen dường như bớt bí ẩn hơn.

Cấu trúc này ngày nay được gọi là đại số von Neumann. Chính von Neumann góp phần phát triển nó như một giải pháp cho những mâu thuẫn logic trong không gian Hilbert khiến ông trăn trở. Năm 1935, khi khám phá ưu điểm của đại số, ông viết: "Tôi muốn thú nhận một điều có vẻ phi đạo đức: tôi không còn tin vào không gian Hilbert nữa."

Sorce thì không chia sẻ khát vọng có một không gian duy nhất thống trị tất cả. Ông bằng lòng dùng bất kỳ cấu trúc toán học nào phù hợp nhất với vật thể lượng tử đang nghiên cứu — thường là không gian Hilbert, đôi khi là đại số von Neumann, và có lúc là một trong vô số không gian khác mà giới toán học đã tạo ra trong hơn một thế kỷ qua.

"Có cả một sở thú của những thứ như vậy", ông nói.

Ý nghĩa với ngành điện toán lượng tử

Với độc giả quan tâm công nghệ, câu chuyện về không gian Hilbert không chỉ là vấn đề học thuật. Qubit — đơn vị tính toán của máy tính lượng tử — chính là một mũi tên trong không gian Hilbert hai chiều. Mọi thuật toán lượng tử, từ tìm kiếm Grover đến phân tích Shor, đều được thiết kế như những phép quay mũi tên ấy trong không gian Hilbert trước khi đo kết quả cuối cùng.

Hiểu đúng bản chất trừu tượng này giúp lý giải vì sao máy tính lượng tử khó chế tạo đến vậy: mỗi phép đo đều làm "sập" chồng chập, phá hủy chính trạng thái mà thuật toán đang cần khai thác. Đó cũng là lý do các kỹ sư lượng tử phải vật lộn với sửa lỗi và cách ly môi trường — những bài toán mà hiểu biết sâu sắc về không gian Hilbert là điểm khởi đầu.