Một toán tử duy nhất thay thế mọi chức năng của máy tính khoa học

Một toán tử duy nhất thay thế mọi chức năng của máy tính khoa học

Trong lĩnh vực phần cứng kỹ thuật số, chúng ta đều biết đến nguyên lý rằng chỉ cần một cổng NAND duy nhất là có thể xây dựng được toàn bộ hệ thống logic Boolean. Tuy nhiên, đối với toán học liên tục, câu chuyện lại hoàn toàn khác; để tính toán các hàm sơ cấp như sin, cos, sqrt hay log, chúng ta luôn cần nhiều phép tính riêng biệt và phức tạp. Mới đây, một bài nghiên cứu trên arXiv đã tuyên bố找到了 một "nguyên thủy" tương tự cho toán học.

Nhà nghiên cứu Andrzej Odrzywołek đã chứng minh rằng chỉ cần một toán tử nhị phân duy nhất, kết hợp với hằng số 1, là có thể tạo ra toàn bộ kho vũ khí của một máy tính khoa học tiêu chuẩn. Toán tử này được định nghĩa là eml(x,y) = exp(x) - ln(y).

Toán tử EML: Cổng NAND của toán học liên tục

Ý tưởng của toán tử này là cung cấp một khối xây dựng cơ bản duy nhất. Thông qua việc kết hợp lồng ghép toán tử này với hằng số 1, chúng ta có thể tạo ra các hằng số nổi tiếng như e, pi và i, cũng như các phép toán cơ bản.

Ví dụ, hàm mũ tự nhiên có thể biểu diễn rất đơn giản là exp(x) = eml(x, 1). Ngay cả các hàm phức tạp hơn như logarit tự nhiên ln(x) cũng được xây dựng từ chuỗi các toán tử eml: ln(x) = eml(1, eml(eml(1,x), 1)).

Tương tự như vậy, mọi phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa hay các hàm siêu việt đều có thể được suy ra từ toán tử này. Sự tồn tại của một toán tử "đa năng" như vậy là điều hoàn toàn không được dự đoán trước đó. Tác giả đã tìm ra nó thông qua việc tìm kiếm có hệ thống và thiết lập cấu trúc cho cơ sở tính toán khoa học cụ thể này.

Ứng dụng trong AI và Hồi quy biểu tượng

Một trong những ứng dụng thú vị nhất của phát minh này nằm ở lĩnh vực Trí tuệ nhân tạo (AI) và Học máy (Machine Learning). Trong dạng EML (Exp-Minus-Log), mọi biểu thức toán học trở thành một cây nhị phân gồm các nút giống hệt nhau. Điều này tạo ra một ngữ pháp cực kỳ đơn giản: S -> 1 | eml(S, S).

Cấu trúc đồng nhất này cho phép thực hiện hồi quy biểu tượng dựa trên độ dốc (gradient-based symbolic regression). Bằng cách sử dụng các cây EML làm các mạch có thể huấn luyện với các bộ tối ưu hóa tiêu chuẩn như Adam, tác giả đã chứng minh tính khả thi của việc khôi phục chính xác các hàm sơ cấp dạng đóng (closed-form) từ dữ liệu số.

Kiến trúc này có thể khớp với các dữ liệu tùy ý, nhưng điểm đặc biệt là khi quy luật tạo ra dữ liệu là một hàm sơ cấp, hệ thống có khả năng khôi phục lại chính xác công thức gốc đó chỉ với độ sâu cây khá nông (tối đa là 4).

Đây là một bước tiến thú vị trong việc thu hẹp khoảng cách giữa toán học tượng trưng và học máy sâu, mở ra hy vọng về các mô hình AI có thể giải thích và diễn đạt các quy luật vật lý theo công thức toán học chính xác thay vì các "hộp đen" khó hiểu.