Phím đàn guitar có thể thực hiện phép nhân không? Sự thật thú vị về toán học và âm nhạc

Bạn có bao giờ tự hỏi liệu chiếc đàn guitar của mình có thể được dùng như một chiếc máy tính cổ xưa? Một giả thuyết hấp dẫn cho rằng, vị trí các phím đàn, với khoảng cách ngày càng thu hẹp, có thể phản ánh thang logarit và do đó cho phép thực hiện phép nhân giống như thước logarit. Tuy nhiên, sự thật ẩn chứa trong toán học lại phức tạp và thú vị hơn nhiều. Hãy cùng Lehuy.net khám phá xem phím đàn guitar có thực sự "tính toán" được hay không.

Bài viết này dựa trên nghiên cứu của tác giả Charles Petzold, người đã đi sâu vào mối liên hệ giữa cảm nhận âm nhạc, cấu tạo đàn guitar và các phép toán logarit. Bắt đầu từ hình ảnh bìa một cuốn sách về lịch sử thước logarit, ông đã dấn thân vào một hành trình toán học đầy bất ngờ.

Nguồn cơn của sự nhầm lẫn: Bìa cuốn sách "Tính toán bằng âm điệu"

Mọi chuyện bắt đầu từ cuốn sách Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music của Oughtred Society, một tổ chức bảo tồn lịch sử của thước logarit. Hình ảnh bìa cuốn sách cho thấy sự tương đồng rõ ràng giữa khoảng cách của các vạch chia trên thước logarit và khoảng cách của các phím đàn guitar.

Hình ảnh minh họa từ cuốn sách Calculating with Tones

Phần mô tả trong sách khẳng định rằng việc giảm khoảng cách giữa các phím đàn là theo hàm logarit, giống hệt như trên thước logarit. Điều này dẫn đến giả thuyết: nếu thước logarit có thể nhân số bằng cách cộng khoảng cách, thì phím đàn guitar cũng có thể làm được điều tương tự. Tuy nhiên, tác giả bài viết đã nghi ngờ và quyết định kiểm chứng.

Mô phỏng phép nhân với một "cây đàn bị cưa đôi"

Nếu chúng ta gán nhãn cho các phím đàn từ 1 đến 2, trong đó điểm tựa (nut) là số 1 và phím bát độ (12th fret) là số 2, thì 11 phím ở giữa sẽ đại diện cho các phân số như 13/12, 7/6, v.v. Sau đó, bằng cách tưởng tượng "cưa đôi" cây đàn để hai phần có thể trượt lên nhau, ta có một công cụ giống như thước logarit.

Cây đàn guitar acoustic cổ điển với các phím được gắn nhãn

Ví dụ, để nhân 7/6 với 3/2, ta trượt phần trên sao cho số 1 của nó trùng với 7/6 ở phần dưới. Khi đó, số 3/2 ở phần trên sẽ chỉ vào kết quả 7/4 ở phần dưới. Phép tính này có vẻ chính xác, và vài phép nhân khác như 5/4 x 4/3 = 5/3 cũng cho kết quả đúng. Liệu thí nghiệm này đã thành công?

Bước ngoặt: Giới hạn của một quãng tám và sự sụp đổ của giả thuyết

Với đàn guitar điện có tới 24 phím (hai quãng tám), vấn đề bắt đầu xuất hiện. Khi tiếp tục gắn nhãn các phím này lên đến số 3, và thử phép nhân 3/2 x 2 = 3, kết quả lại hoàn toàn sai lệch. Các vạch không hề trùng khớp.

Đàn guitar điện Donner DMT-100 với 24 phím

Điều này cho thấy sự tương đồng chỉ đúng trong một quãng tám đầu tiên. Vậy nguyên nhân sâu xa là gì? Tại sao phím đàn guitar không thể tạo thành một thước logarit hoàn chỉnh?

Công thức thực sự của phím đàn và bản chất logarit không hoàn hảo

Không giống như thước logarit, nơi vị trí của mỗi vạch chia được tính bằng logarit của con số đó, vị trí của phím đàn guitar được xác định bởi công thức vật lý. Để tăng cao độ lên một nửa cung, tần số của dây phải nhân với căn bậc 12 của 2 (≈ 1.059). Vì tần số tỷ lệ nghịch với chiều dài dây, mỗi phím đàn phải giảm chiều dài dây xuống một hệ số là 2^(-1/12) ≈ 0.944.

Nói cách khác, vị trí của phím đàn là một chuỗi hình học với công bội là 0.944. Hàm số này, khi được vẽ trên biểu đồ, chỉ trùng với hàm logarit tại hai điểm đầu và cuối (số 1 và số 2 trong quãng tám đầu tiên). Sự trùng hợp này là nguyên nhân gây ra sự nhầm lẫn. Phần còn lại của hai đường cong là hoàn toàn khác biệt, mặc dù rất gần nhau trong khoảng từ 1 đến 2, dẫn đến việc một số phép tính cụ thể cho kết quả tưởng chừng như chính xác.

Lịch sử định vị phím đàn và phương pháp hình học 18:17

Vậy trước khi có máy tính và các công cụ đo lường chính xác, người ta đã xác định vị trí phím đàn như thế nào? Một phương pháp nổi tiếng được đề xuất bởi Vincenzo Galilei, cha đẻ của nhà khoa học Galileo, vào năm 1581. Ông sử dụng một tỷ lệ hình học đơn giản là 18:17.

Bức tranh "The Guitar Player" của họa sĩ Vermeer

Phương pháp này không cần đến logarit mà chỉ sử dụng compa và thước kẻ. Nguyên tắc là chia chiều dài dây đàn thành 18 phần, đặt phím đầu tiên ở vị trí 1/18, sau đó tiếp tục chia phần còn lại thành 18 phần và lặp lại quá trình này. Tỷ lệ 18:17 này xấp xỉ rất tốt so với con số chính xác từ căn bậc 12 của 2, và được sử dụng rộng rãi trong hơn 250 năm.

Kết luận: Một sự trùng hợp đẹp đẽ, không phải một quy tắc toán học

Cuối cùng, câu trả lời là không, phím đàn guitar không thể thực hiện phép nhân một cách chính xác. Mặc dù cách chúng ta cảm nhận cao độ là logarit và khoảng cách giữa các phím có vẻ như tuân theo một quy luật tương tự, nhưng chúng được tính toán từ một hàm số mũ của phép nhân hệ số, chứ không phải là logarit thuần túy.

Sự tương đồng và một vài phép tính "trúng tủ" chỉ là một sự trùng hợp toán học thú vị trong một quãng tám giới hạn. Khám phá này một lần nữa cho thấy, ranh giới giữa các lĩnh vực khoa học và nghệ thuật, giữa toán học và âm nhạc, luôn chứa đựng những vẻ đẹp tiềm ẩn và những câu hỏi kích thích tư duy. Nếu bạn muốn tìm hiểu sâu hơn về "Nghệ thuật logarit đã mất", nó xứng đáng là một chủ đề nghiên cứu đầy cuốn hút.