Bài toán Monty Hall dưới góc nhìn Bayes: Khi xác suất phụ thuộc vào người dẫn chương trình

Hẳn bạn đã từng nghe câu trả lời quen thuộc: trong bài toán Monty Hall, đổi cửa sẽ giúp bạn thắng với xác suất 2/3. Nhưng đằng sau con số đó là một giả định ngầm về cách người dẫn chương trình hành xử — và chính giả định ấy mới là phần thú vị nhất.

Bài viết này xem xét lại bài toán dưới góc nhìn Bayes: chuyện gì xảy ra khi người dẫn không biết vị trí xe, khi anh ta thiên vị một cửa, khi ta học được thói quen của anh ta từ các tập cũ, và khi quyền quyết định có mời đổi cửa hay không nằm trong tay anh ta.

Bài toán quen thuộc và câu trả lời "kinh điển"

Bạn đứng trước ba cánh cửa đóng. Sau một cửa là chiếc ô tô, sau hai cửa còn lại là dê. Bạn chọn cửa 1. Người dẫn chương trình biết rõ mọi thứ sau mỗi cửa, mở cửa 3 và cho bạn thấy một con dê. Anh ta hỏi: bạn giữ cửa 1 hay đổi sang cửa 2?

Trực giác mách bảo rằng còn hai cửa, một xe, nên xác suất là 50–50. Trực giác đó sai.

Năm 1990, Marilyn vos Savant trả lời đúng câu hỏi này trên tạp chí Parade và nhận về khoảng 10.000 lá thư, gần một nghìn trong đó đến từ những người có bằng tiến sĩ — phần lớn khẳng định bà đã sai. Ngay cả nhà toán học nổi tiếng Paul Erdős cũng không tin cho đến khi một người bạn chạy mô phỏng máy tính ngay trước mặt ông.

Sự thật là: đổi cửa giúp bạn thắng 2 lần trong 3 ván.

Nhưng câu đó che giấu một giả định. Con số 2/3 xuất phát từ một hình dung rất cụ thể về hành vi của người dẫn. Thay một "người dẫn" khác vào, cùng một con dê sau cùng một cánh cửa lại mang giá trị hoàn toàn khác.

Bảng xác suất — nơi sự thật nằm ở cột thứ ba

Hãy bắt đầu với tiên nghiệm đều, mỗi cửa 1/3, rồi tính khả năng người dẫn mở cửa 3 ứng với từng vị trí của xe:

• Xe sau cửa 1 (cửa bạn chọn): tiên nghiệm 1/3, xác suất mở cửa 3 là 1/2 (anh ta chọn ngẫu nhiên giữa hai cửa có dê) → tích 1/6
• Xe sau cửa 2: tiên nghiệm 1/3, xác suất mở cửa 3 là 1 (bắt buộc, vì cửa 2 có xe) → tích 1/3
• Xe sau cửa 3: tiên nghiệm 1/3, xác suất mở cửa 3 là 0 (anh ta không bao giờ để lộ xe) → tích 0

Chuẩn hóa lại, cửa 1 giữ 1/3 và cửa 2 nhận 2/3.

Điều đáng chú ý: sự lệch lạc không đến từ tiên nghiệm mà đến từ cột thứ ba — cột chứa những tuyên bố về hành vi người dẫn mà không ai thực sự kiểm chứng. Vậy hãy thử "chọc" vào từng tuyên bố một.

Minh họa bài toán xác suất ba cánh cửa

Người dẫn không biết vị trí xe

Nhà thống kê Jeffrey Rosenthal gọi đây là "Monty Fall": người dẫn vô tình vấp ngã, huých mở một cửa ngẫu nhiên, và may mắn là sau đó là dê.

Từ chỗ bạn đứng, mọi thứ trông y hệt. Cửa 3, con dê. Nhưng lần này, nếu xe ở cửa 2, người dẫn chỉ mở cửa 3 với xác suất 1/2, vì anh ta đoán mò. Cả hai cửa còn lại đều nhận 1/3 × 1/2. Kết quả là một cuộc tung đồng xu.

Mô phỏng một triệu ván bằng Python xác nhận điều này: người dẫn biết vị trí → đổi cửa thắng 0,6663; người dẫn mù → đổi cửa thắng 0,4991. Hai tình huống trông giống hệt nhau nhưng cho kết quả khác nhau.

Vì sao? Vì với người dẫn vụng về, khoảng một phần ba số ván kết thúc bằng việc chiếc xe bị lộ ra, và ta lặng lẽ loại bỏ những ván đó vì chúng không khớp với những gì ta thấy. Chính bộ lọc này ăn mất lợi thế. Cơ chế này giống hệt một cuộc khảo sát qua điện thoại chỉ đếm những người bắt máy.

Người dẫn có cửa "ruột"

Quay lại người dẫn biết vị trí xe. Giả sử khi bạn chọn đúng cửa có xe (cả hai cửa kia đều có dê), anh ta không chọn công bằng: anh ta mở cửa 3 với xác suất q. Có thể vì cửa đó gần máy quay hơn.

Khi đó:

• P(thắng nhờ đổi cửa | anh ta mở cửa 3) = 1 / (1 + q)
• P(thắng nhờ đổi cửa | anh ta mở cửa 2) = 1 / (2 − q)

Công thức đầu là kết quả "Monty Crawl" của Rosenthal. Thay q = 1/2 vào cả hai, bạn được con số 2/3 quen thuộc — cho thấy trường hợp trong sách giáo khoa đặc biệt đến mức nào.

Cánh cửa mà người dẫn vươn tới chính là thông tin. Nếu anh ta cuồng cửa 3, thì việc thấy anh ta mở cửa 3 gần như chẳng nói lên điều gì, và đổi cửa chỉ hơn tung đồng xu một chút. Nhưng thấy anh ta mở cửa 2 lại là câu chuyện khác hoàn toàn: anh ta chỉ làm vậy khi buộc phải làm, nên xe ở cửa 3 và đổi cửa gần như chắc thắng.

Xác suất thắng khi đổi cửa theo mức thiên vị q của người dẫn

Điều đáng giá nhất ở đây: cả hai đường cong đều không bao giờ xuống dưới 1/2, dù q bằng bao nhiêu. Đổi cửa không bao giờ tệ hơn giữ cửa. Bạn có thể đưa ra quyết định đúng mà không cần biết thói quen của người dẫn — chỉ cần biết thói quen đó để ước lượng lợi thế lớn đến đâu.

Học thói quen của người dẫn từ các tập cũ

Liệu có thể ước lượng q từ những tập phát sóng trước? Có, nhưng có một cái bẫy: phần lớn các tập đều vô dụng. Khi người chơi chọn trúng cửa có dê, người dẫn không có lựa chọn nào, nên cánh cửa anh ta mở chẳng nói gì về sở thích của anh ta. Bạn chỉ học được điều gì đó từ những ván mà người chơi tình cờ chọn đúng cửa có xe.

Thử mô phỏng 30 tập với người dẫn có q thật bằng 0,8. Chỉ 10 tập là có ích, và trong 9 tập đó anh ta chọn cửa 3. Với tiên nghiệm Beta(1,1) và hợp lý Bernoulli, mô hình trong NumPyro chỉ dài hai dòng. Kết quả: hậu nghiệm là Beta(10,2), trung bình 0,833, và bộ lấy mẫu NUTS cho ra 0,836.

Xác suất thắng khi đổi cửa tương ứng khoảng 0,546 nếu anh ta mở cửa 3, và 0,865 nếu anh ta mở cửa 2. Nhưng chỉ 10 ván thì dữ liệu chẳng đáng kể, hậu nghiệm khá rộng và đỉnh lệch về phía 0,9 thay vì 0,8 thật. Đó là kết quả trung thực từ một mẫu nhỏ — thà trình bày như vậy còn hơn giả vờ.

Anh ta có thực sự biết xe ở đâu không?

Nâng lên một tầng cao hơn: đặt cạnh nhau hai giả thuyết — một người dẫn biết vị trí và không bao giờ để lộ xe, và một người dẫn mở cửa ngẫu nhiên.

Mỗi tập kết thúc bằng một con dê có xác suất 1 dưới giả thuyết thứ nhất và 2/3 dưới giả thuyết thứ hai. Xem n tập mà không lần nào lộ xe, hệ số Bayes ủng hộ người dẫn "biết tuốt" là (3/2)^n:

• 5 tập: hệ số 7,6
• 10 tập: hệ số 57,7
• 20 tập: hệ số 3.325

Chỉ sau chừng mười tập là bạn có thể khá chắc chắn. Bằng chứng nhân lên, và giả thuyết nào dám đưa ra dự đoán sắc bén hơn sẽ được "trả công" khi dự đoán đó liên tục đúng.

Khi lời mời đổi cửa cũng là bằng chứng

Mọi phiên bản trên đều giả định người dẫn luôn đưa ra lời mời đổi cửa. Nếu anh ta tự chọn thời điểm mời thì sao?

Giả sử anh ta mời với xác suất a khi bạn đang đứng ở cửa có xe, và b với xác suất b khi bạn đang đứng ở cửa có dê. Biết rằng lời mời đã được đưa ra:

P(thắng nhờ đổi cửa | có lời mời) = 2b / (2b + a)

Đặt a = b = 1, bạn quay về 2/3. Đặt a = 1, b = 0, bạn dựng nên "Monty từ Địa ngục" — kẻ chỉ cám dỗ những người đã đứng sẵn trên chiếc xe. Đổi cửa thua trong mọi ván. Nói chung, chỉ nên đổi khi a < 2b. Ba cánh cửa gần như không còn quan trọng; động cơ của anh ta mới quan trọng.

Và chương trình thật đã vận hành đúng như vậy. Năm 1991, tờ New York Times hỏi Monty Hall về cuộc tranh cãi. Ông chỉ ra rằng ông không hề bị bắt buộc phải mời đổi cửa, và ông dùng chính quyền tự do đó để đùa giỡn với thí sinh. Phiên bản mà thiên hạ tranh cãi năm 1990 đã lặng lẽ giả định mất đi quyết định quan trọng nhất của ông.

Vì sao điều này quan trọng với người làm dữ liệu

Các khảo sát thiên văn chỉ bắt được những vật thể đủ sáng. Nếu quên điều đó, các quần thể mờ nhạt sẽ biến mất khỏi thống kê và ước lượng của bạn bị lệch — giới thiên văn gọi là thiên lệch Malmquist. Trong y học, nó đôi khi được gọi là thiên lệch sống sót. Các nhà thống kê xếp nó vào nhóm "bỏ qua cơ chế chọn mẫu".

Miller và Sanjurjo chỉ ra rằng cùng logic "lựa chọn bị giới hạn" trong bài toán Monty Hall cũng giải thích một thiên lệch lâu đời trong các nghiên cứu về "bàn tay nóng" trong bóng rổ.

"Monty Fall" chính là bài toán đó với mọi chi tiết rườm rà bị gỡ bỏ. Vậy nên trước khi hỏi dữ liệu nói gì, hãy luôn hỏi dữ liệu đến tay bạn bằng cách nào.

Tóm lại

Nếu chỉ mang theo một điều từ bài viết này, hãy mang theo cột thứ ba của bảng xác suất đầu tiên. Con số 2/3 sống ở đó, không phải ở ba cánh cửa. Người dẫn vụng về cắt nó đi một nửa. Một người dẫn thiên vị khiến lựa chọn cửa của anh ta trở nên có thông tin, dù đổi cửa vẫn không bao giờ thiệt. Các tập cũ cho phép bạn ước lượng thói quen của anh ta, miễn là chỉ đếm những ván anh ta thực sự có lựa chọn. Và một người dẫn tự quyết định thời điểm mời có thể biến "luôn đổi" thành "không bao giờ đổi".

Với độc giả quan tâm đến khoa học dữ liệu và học máy, đây không chỉ là một câu đố vui. Đó là bài học cô đọng nhất về việc mô hình hóa quá trình sinh ra dữ liệu — kỹ năng mà mọi kỹ sư AI đều cần khi huấn luyện mô hình trên những tập dữ liệu vốn đã bị chọn lọc theo cách không ai ghi lại.

Toàn bộ mã nguồn và con số trong bài đến từ các mô phỏng và mô hình NumPyro (NumPyro 0.22 với JAX, seed 42 và 7).