Bida toán học: Khi hình học và lập trình gặp nhau trên bàn bi-a lý tưởng

Bida toán học và trực quan hóa hình học

Bạn có thích chơi bi-a không? Tôi thì rất thích, cảm giác đưa được một quả bóng vào lỗ sau cú đánh nảy qua nhiều băng thật sảng khoái. Nhưng tôi chơi không giỏi, nên trượt khá nhiều. May thay, tôi có thể đổ lỗi cho ma sát, cho va chạm không đàn hồi, hoặc cho một quả bóng khác vô tình cản đường. Và bạn biết không, khi biết đến sự tồn tại của bida toán học (mathematical billiards), tôi thấy nhẹ cả người.

Trong bài viết này, tôi sẽ mô tả một vài biến thể của bida toán học và chia sẻ cách tôi dùng thực nghiệm trên máy tính để thúc đẩy nghiên cứu về chúng. Một số hình ảnh trong bài đến từ Geogebra và từ phần mềm do chính tôi viết. Hãy cùng bắt đầu với trò chơi đầu tiên.

Bida thông thường: bàn hình dạng tùy ý

Hãy tưởng tượng bạn chơi bi-a, nhưng thay vì bàn chữ nhật tiêu chuẩn, bạn dùng một chiếc bàn không có lỗ và có hình dạng do bạn chọn. Ví dụ, ta có thể vẽ một bàn hình ellipse (xem Hình 1).

Bàn bida hình ellipse với quỹ đạo nảy băng

Hãy chọn hai điểm khác nhau trên biên của ellipse — gọi là x và y. Tưởng tượng bạn đánh một quả bóng điểm tại x theo hướng tới y. Nó sẽ đi theo đường màu xanh, nảy khỏi thành bàn tới một điểm mới z. Trong một thế giới lý tưởng không ma sát, ta có thể theo dõi quỹ đạo của quả bóng qua bao nhiêu lần nảy tùy thích. Chuỗi dây cung tạo thành như vậy được gọi là một quỹ đạo (trajectory).

Bida toán học chính là việc nghiên cứu các quỹ đạo của những quả bóng trong những ván bida lý tưởng như thế. Các nhà toán học thích mô tả những "trò chơi" kiểu này như một hệ động lực (dynamical system) — gồm một "trạng thái" (ở đây là cặp điểm như x và y) cùng với cách trạng thái đó tiến hóa theo thời gian (khi bóng nảy tại y, nó đổi hướng và đi tới z).

Với những người quen với lý thuyết hệ động lực, có thể phát biểu như sau: bida là một hệ động lực trên không gian các dây cung có hướng trong miền K xác định bàn chơi. Ánh xạ bida T_K "ăn" dây cung xy và "nhả ra" dây cung yz, sao cho các dây cung tuân theo định luật phản xạ tại điểm y.

Các nhà hình học nghiên cứu loại hệ này thường đặt câu hỏi: liệu K có tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn không? Tức là có thể chọn x và y sao cho quỹ đạo cuối cùng quay lại đúng điểm xuất phát sau một số bước hữu hạn hay không?

Rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu dạng bida này và nhiều kết quả đã được biết. Tuy nhiên vẫn còn những câu hỏi nền tảng chưa có lời giải. Chẳng hạn, người ta vẫn chưa biết liệu mọi tam giác có tồn tại quỹ đạo tuần hoàn hay không.

Bida ngoài: khi bóng văng khỏi bàn

Thỉnh thoảng một người chơi mới như tôi đánh quá mạnh khiến bóng văng hẳn ra khỏi bàn. Nếu bạn từng gặp chuyện đó, đừng lo — toán học lại có sẵn một trò chơi cho bạn: bida ngoài (outer billiards).

Trò chơi này không còn tuân theo các quy tắc "thông thường" của bida vật lý, mà là một trò chơi trừu tượng mô tả chuyển động của một đối tượng quanh một hình hình học cho trước theo một bộ quy tắc toán học hoàn toàn khác.

Ví dụ với ellipse: chọn điểm x nằm ngoài ellipse, dựng hai tiếp tuyến từ x tới biên ellipse. Chọn một trong hai tiếp điểm (gọi là p) sao cho nội thất ellipse nằm bên trái đoạn thẳng màu xanh khi nhìn từ x. Cuối cùng, phản xạ vị trí x qua tiếp điểm đó để thu được điểm mới y. Quỹ đạo từ x tới y tương ứng với một "cú đánh" trong ván bida cải biên này.

Bida ngoài là một hệ động lực mới, trong đó trạng thái là một điểm nằm ngoài bàn và ánh xạ biến x thành y như mô tả trên. Bida ngoài mang lại một lĩnh vực nghiên cứu phong phú vì có rất nhiều hành vi khác nhau: tùy vào hình dạng được chọn, ta có thể thấy hành vi rất dễ đoán hoặc hoàn toàn hỗn độn.

Với bàn hình ellipse, hệ bida ngoài rất "ngoan": mọi quỹ đạo đều nằm trên một ellipse đồng tiêu với bàn chơi. Nhưng cũng có những bàn mà quỹ đạo phân kỳ ra vô cực.

Điểm kỳ dị và những "đảo tuần hoàn"

Phần còn lại của bài viết chủ yếu bàn về trường hợp hình được nghiên cứu là một đa giác đều. Người đọc tinh ý có thể nhận ra một lỗ hổng trong định nghĩa ánh xạ bida ngoài: điều gì xảy ra nếu tiếp tuyến mà ta muốn phản xạ x lại nằm dọc theo một cạnh phẳng của hình?

Các điểm ở một phía của đường thẳng này được phản xạ qua một đỉnh, còn các điểm ở phía kia được phản xạ qua một đỉnh khác. Không có cách định nghĩa ánh xạ cho điểm nằm trên chính đường thẳng đó, nên ta nói ánh xạ không xác định tại đây, hay có một điểm kỳ dị (singularity) tại x.

Với bàn là một n-giác, điều này nghĩa là phải loại bỏ n tia (phần kéo dài của các cạnh đa giác) khỏi miền xác định. Nhưng câu hỏi thú vị là: liệu một quả bóng xuất phát từ điểm không kỳ dị có thể cuối cùng rơi vào điểm kỳ dị và "kẹt" lại không? Điều này hoàn toàn có thể xảy ra, và khi đó ta cũng phải coi điểm xuất phát đó là kỳ dị, vì ta chỉ quan tâm đến những điểm có toàn bộ quỹ đạo được xác định.

Vậy tập hợp kỳ dị đầy đủ trông như thế nào? Đây chính là lúc máy tính tỏa sáng.

Cấu trúc fractal của tập kỳ dị bida ngoài

Nếu bàn có hình là một đa giác lát kín mặt phẳng (tam giác, hình vuông hoặc lục giác), các hình ảnh kỳ dị là những lát kín của mặt phẳng, và mọi điểm không kỳ dị đều nằm trên một quỹ đạo tuần hoàn. Nhưng với các đa giác đều có số cạnh khác, hình ảnh thu được phức tạp hơn nhiều (xem Hình 5).

Trong các hình ảnh đó, có những vùng hình đa giác không chứa điểm kỳ dị. Nếu bóng xuất phát từ một vùng như vậy, nó sẽ được gửi sang vùng khác, rồi vùng khác nữa. Đôi khi bóng quay lại vùng xuất phát, và nếu điều đó xảy ra thì mọi điểm trong vùng đó đều quay về điểm xuất phát của nó. Vì lý do này, ta gọi các vùng đó là đảo tuần hoàn (periodic islands).

Bước sang hình học hyperbolic

Một biến thể tôi thấy đặc biệt thú vị là chuyển bài toán sang hình học hyperbolic. Điểm khác biệt then chốt là trong hình học hyperbolic, với mỗi số cạnh n không còn duy nhất một đa giác đều n cạnh, mà là cả một họ đa giác với độ dài cạnh khác nhau.

Bắt đầu với tam giác đều. Biểu đồ kỳ dị thông thường có các đảo tuần hoàn hình tròn với nhiều kích cỡ khác nhau, cùng những thành phần liên thông nhỏ hơn chưa được mô tả rõ.

Nhưng khi ta thay đổi tham số độ dài cạnh, đôi khi sẽ nhận ra một quy luật đáng kinh ngạc: với vài giá trị độ dài cạnh được chọn rất chính xác, hình ảnh đơn giản đi một cách ngoạn mục. Cụ thể, với mọi số nguyên k ≥ 7, ta có thể tính được một độ dài cạnh ℓ(k) sao cho tập kỳ dị của tam giác có cạnh ℓ(k) trông giống hệt một lát kín mặt phẳng bằng các tam giác và các đa giác k cạnh, với hai bản sao của mỗi hình gặp nhau tại mỗi đỉnh theo thứ tự xen kẽ.

Kết quả này đúng với mọi số nguyên n, k ≥ 3 thỏa mãn 1/n + 1/k < 1/2. Điều này cho thấy trong hình học hyperbolic tồn tại vô số hình dạng bàn đa giác đều khác nhau mà mọi quỹ đạo đều tuần hoàn — thay vì chỉ ba trường hợp như trong mặt phẳng Euclid.

Tôi phát hiện ra điều này bằng cách mày mò với phần mềm mình viết cho đến khi quy luật tự hiện ra. Sau đó tôi mới có thể truy vết chi tiết bằng tay, khi đã biết cần tìm gì. Với tôi, đây là một ví dụ đẹp cho thấy thực nghiệm trên máy tính có thể dẫn đến tiến bộ trong toán học thuần túy như thế nào.

Bida ngoài có độ dài

Quay lại mặt phẳng Euclid, hãy mô tả thêm một dạng bida hơi rối rắm. Lại xét điểm x nằm ngoài bàn và dựng hai tiếp tuyến từ nó. Gọi p là tiếp điểm của đường có bàn nằm bên trái khi nhìn từ x. Ta dựng đường tròn duy nhất C tiếp xúc với bàn tại p và tiếp xúc với cả hai đường thẳng.

Cấu trúc tập kỳ dị của bida ngoài có độ dài

Đường tròn này thực ra chia sẻ ba tiếp tuyến với bàn; dựng tiếp tuyến thứ ba để thu được điểm mới y, định nghĩa là giao của tiếp tuyến qua p với tiếp tuyến thứ ba. Trò chơi này tạm gọi là bida ngoài có độ dài (outer billiards with length), mới được mô tả gần đây bởi Sergei Tabachnikov (Đại học Penn State) và Peter Albers (STRUCTURES, Đại học Heidelberg).

Bida ngoài có độ dài giống bida ngoài ở chỗ ánh xạ di chuyển các điểm dọc theo tiếp tuyến, nhưng quãng đường đi được ở mỗi bước phụ thuộc vào hình dạng bàn theo cách phức tạp hơn. Phần mềm của tôi cố gắng vẽ tập kỳ dị theo cách định nghĩa tương tự, nhưng hình ảnh phức tạp hơn nhiều. Lý do là ánh xạ không còn là một đẳng cự (isometry), nên ảnh ngược của các đường thẳng nói chung không còn là đường thẳng.

Cho đến nay, người ta vẫn chưa thể nói chắc chắn nhiều về hành vi của hệ này nói chung. Tuy vậy, động lực học của nó dường như thể hiện sự kết hợp hấp dẫn giữa đơn giản và phức tạp.

Vì sao các nhà toán học quan tâm?

Có vài lý do khác nhau.

Thứ nhất là mối liên hệ với thế giới vật lý: bida thông thường mô hình hóa quả bóng nảy trên bàn hoặc photon trong một căn phòng gương, còn bida ngoài ban đầu được hình dung như một mô hình rất thô của chuyển động hành tinh.

Thứ hai, các câu hỏi về động lực học trong mặt phẳng thú vị vì có quá nhiều chi tiết ẩn giấu trong một không gian tưởng chừng quá quen thuộc. Tôi có thể nói "tôi thuộc hình học Euclid như lòng bàn tay", nhưng cũng như việc tôi có thể tò mò nhìn làn da bàn tay mình dưới kính hiển vi, vẫn còn vô vàn điều cần học về hành vi của cả những hệ hình học đơn giản nhất.

Thứ ba, các công cụ thực nghiệm và lý thuyết ta phát triển để nghiên cứu hệ động lực thường mang lại lợi ích cho nhiều lĩnh vực toán học khác. Định nghĩa hệ động lực đủ rộng để nhiều kết quả ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ lý thuyết hệ động lực có thể áp dụng cho một tập hợp lớn và đa dạng các bài toán thú vị.

Máy tính và toán học: vài suy ngẫm

Phần mềm bida dùng để tạo các hình trong bài này được viết cho web bằng Angular TypeScript kết hợp Three.JS. Ưu điểm là dễ triển khai và chia sẻ với cộng sự, nhưng cũng có một số hạn chế về hiệu năng.

Ngoài lề một chút, tôi muốn giới thiệu ShaderToy. Nếu một quá trình bạn quan tâm có thể phát biểu dưới dạng "thực hiện vài phép tính cho mỗi điểm trong mặt phẳng rồi tô màu theo kết quả", thì ShaderToy cho bạn cách nhanh chóng, chạy ngay trên trình duyệt, để xem nó trông như thế nào. Có thể tạo ra những hình ảnh cực kỳ chi tiết chỉ với vài dòng mã.

Cuối cùng, tôi muốn nhìn rộng hơn về vai trò của máy tính trong nghiên cứu toán học. Các bài khác trên blog này đã mô tả ứng dụng của học máy vào nhiều bài toán khoa học. Bên cạnh đó là mối quan tâm lâu dài tới các phương pháp chứng minh có máy tính hỗ trợ, mà ví dụ nổi tiếng nhất cho đến nay có lẽ là chứng minh Định lý Bốn màu năm 1976.

Vì giới hạn của số học độ chính xác hữu hạn, một số kết quả toán học phù hợp với chứng minh bằng máy tính hơn những kết quả khác: càng rời rạc càng tốt. Chứng minh chặt chẽ cho các bài toán liên tục hơn thường đòi hỏi (a) khả năng "ghi sổ" tốt, vì mỗi phép tính dấu phẩy động liên tiếp lại khuếch đại sai số, và (b) một cách thông minh để giảm số phép tính cần thiết từ vô hạn xuống hữu hạn.

Một số chứng minh có máy tính hỗ trợ khiến không ít nhà toán học thấy chưa thỏa mãn, bởi chúng cho thấy một kết quả là đúng mà không nhất thiết truyền tải trực giác về lý do vì sao. Với nhiều người trong chúng ta, chính việc hiểu được tại sao mới là điều khiến toán học trở nên thú vị đến vậy.

Hiện tại, công việc của tôi với máy tính là để xây dựng trực giác, không hứa hẹn sự chặt chẽ. Khi khám phá một bài toán hình học mới, tôi thích nghĩ xem làm thế nào để biến nó thành tương tác: tham số nào tôi muốn điều khiển, điểm nào trên hình tôi muốn kéo thả? Tôi thử cài đặt hành vi, chơi với hệ thống và cảm nhận điều gì thường xảy ra.

Có lúc tôi dùng trực quan hóa để tìm thứ mình kỳ vọng, như quỹ đạo không bị chặn trong bida ngoài có độ dài. Có lúc, như trường hợp lát kín hyperbolic, một điều gì đó hoàn toàn bất ngờ ập đến. Dù thế nào, hình ảnh do phần mềm tạo ra thường gợi ý rất mạnh về một hành vi nào đó, và khi đã có chút bằng chứng ủng hộ một phỏng đoán, tôi có thể quay lại bảng đen và cố gắng chứng minh nó một cách đầy đủ, chặt chẽ.

Tác giả: Lael Costa là nghiên cứu sinh tiến sĩ tại Đại học Bang Pennsylvania, làm việc với GS. Sergei Tabachnikov. Anh quan tâm đến các bài toán toán học và vật lý có yếu tố thị giác mạnh. Ngoài giờ làm việc, Lael thích đi bộ đường dài, chụp ảnh phong cảnh và học ngoại ngữ.